Produit scalaire Hermitien
Définition
\(\triangleright\) Définition du produit scalaire Hermitien
Le produit scalaire Hermitien de \(\ket{\Psi_1}\) et \(\ket{\Psi_2}\) est le nombre complexe noté \(\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle\) définie par:
$$\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle = {{\int_{\Bbb R} \bar\Psi_1(x)\Psi_2(x)dx}}$$- \(\bar\Psi_1\) est le nombre complexe conjugué de \(\Psi_1\)
Notations
\(\triangleright\) Notation du produit scalaire hermitien sous forme matricielle
Soit \(\ket u,\ket v\in E\), le produit scalaire hermitien est:
$$\braket {u|v}={{(u_1^*,...,u_n^*)\begin{pmatrix}v_1\\ .\\ .\\ .\\ v_n\end{pmatrix} }}$$
Interprétation géométrique
Comme en géométrie Euclidienne, on peut interpréter le produit scalaire \(\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle\) comme le projection orthogonale de \(\ket{\Psi_2}\) sur \(\ket{\Psi_1}\)
- Si \(\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle=0\), alors les deux fonctions d'ondes sont orthogonales
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés du produit scalaire hermitien
Le produit scalaire hermitien est anti-linaire à gauche et linéaire à droit.
